martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.
Se representa una serie con términos an como
Siendo N es el índice final de la serie.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Las series convergen o divergen.
Una serie diverge      si

No existe o si tiende a infinito;
Converge si:

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,  .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si   no existe o si tiende a infinito; puede converger si   para algún  .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de   y   se verifica es  . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna  , sea   y  . Entonces

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente,   y  , se ha demostrado que  . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo  .
Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo  . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo   por lo tanto el producto de Cauchy   y no es convergente.

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