Series de potencias. Desarrollos en serie
de Taylor
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente
destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos.Series de potencias. Convergencia de las series de potencias. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n.
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n.
En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x " (−1,1) (con suma 1 1−x , como sabemos).
de Taylor
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente
destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos.Series de potencias. Convergencia de las series de potencias. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n.
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n.
En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x " (−1,1) (con suma 1 1−x , como sabemos).
b) La serie ∞Σ n=1 xn n converge si y solo si x " [−1,1). Si x " (−1,1), converge absolutamente.
c) La serie ∞Σ n= xn n2 converge (absolutamente) si y solo si x " [−1,1].
d) La serie ∞Σ n=1(−1)nx2nn converge si y solo si x " [−1,1]. Si x " (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie∞Σn=0xnn!converge (absolutamente) para todo x " R (y la suma es ex).
f) La serie∞Σn=0n!xn converge solamente para x = 0. Si para algún r " (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x " R tal que |x−c| < r la serie ∞Σ n=0 an(x−c)n es absolutamente convergente.
c) La serie ∞Σ n= xn n2 converge (absolutamente) si y solo si x " [−1,1].
d) La serie ∞Σ n=1(−1)nx2nn converge si y solo si x " [−1,1]. Si x " (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie∞Σn=0xnn!converge (absolutamente) para todo x " R (y la suma es ex).
f) La serie∞Σn=0n!xn converge solamente para x = 0. Si para algún r " (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x " R tal que |x−c| < r la serie ∞Σ n=0 an(x−c)n es absolutamente convergente.
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