CALCULO INTEGRAL: 4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (criterio de D´Alembert) y PRUEBA DE LA RAÍZ (criterio de Cauchy).

SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (criterio de D´Alembert) y PRUEBA DE LA RAÍZ (criterio de Cauchy).

Imaginemos que se va a celebrar una carrera con las siguientes reglas:

1. El primer minuto debe recorrerse 100 metros.

2. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad, 50 metros.

3. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad del anterior, 25 metros.

4. El minuto siguiente dee recorrerse la mitad del anterior, 12,50 metros.
y as´ı sucesivamente.

Por otra parte, al mismo tiempo empieza otra carrera, con las reglas ligeramente
modificadas:

1. El primer minuto se recorren 100 metros.

2. El minuto siguiente se recorren la mitad de 100 metros, 50 metros.

3. El minuto siguiente se recorren la tercera parte de 100 metros, 33,3
metros.

4. El minuto siguiente se recorren la cuarta parte de 100 metros, 25 metros.
y as´ı sucesivamente.

Dos corredores empiezan a la vez las carreras. Si la meta de la primera se
encuentra situada a 300 metros y la de la segunda a 1000 metros, ¿qui´en
llega primero a la meta y cu´anto tiempo tarda?
Llamamos D = 100 metros la distancia recorrida en el primer minuto. La
primera carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/4+D/8+ . . .

La segunda carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/3+D/4+ . . .

La pregunta es cu´al de estas sumas alcanza la distancia a la que est´a situada
la meta respectiva. Al acabar este tema deberemos ser capaces de dar una
respuesta razonada1.

Series de Convergencia
Son aplicables en caso de disponer de otra serie $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L$

Entonces:

Si $L = 0$ y $\sum(b_k)$ converge $\Rightarrow \sum(a_k)$ converge
Si $L=\infty$ y $\sum(b_k)$ diverge $\Rightarrow \sum(a_k)$ diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

CONVERGENCIA

Una serie alternada

a n

converge absolutamente si

$\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n}\right|$

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Criterio de D'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe

Criterio de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.